Рубрика: Декартово произведение множеств на координатной плоскости

Декартово произведение множеств на координатной плоскости

Система координат - это набор определений, реализующий метод координат, то есть способ определения положения и движения точки или тела с помощью чисел или других символов.

<Набор чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В математике координаты - это набор чисел, присвоенных точкам многообразия на карте определенного атласа.

Координаты на линии Если линия имеет направление, то такая линия называется направленной, а выбранное направление - положительным. Например, на горизонтальной линии можно отметить направление вправо, поэтому мы говорим, что направленная линия имеет положительное направление вправо.

С таким же успехом можно сказать, что направление влево является положительным. Направление линии будет обозначено стрелкой на рис. Выберем на направленной линии точку, которую назовем началом координат или началом координат и обозначим ее буквой О. Кроме того, выберем отрезок, длину которого будем считать единицей длины.

Этот отрезок называется единицей длины. Определение: Прямая линия, имеющая начало координат, единицу масштаба и направление отсчета, называется осью координат. Рассмотрим отрезок на оси координат. Если одна из точек, ограничивающих отрезок, называется началом отрезка, а другая - концом отрезка, то отрезок называется направленным. Две буквы обозначают направленный отрезок, например: AB, SM, KR, а также буква, обозначающая начало, и буква, обозначающая конец.

Когда пишется AB, это означает, что отрезок начинается в точке A и заканчивается в точке B. Направление отрезка отсчитывается от начала до конца. Если направление отрезка совпадает с направлением оси, то отрезок называется положительно направленным; если его направление противоположно направлению оси, то он отрицательно направлен. Таким образом, отрезки AB и BA имеют противоположные направления. Мы пишем это так: Заметим, что положительно направленный отрезок может находиться в любом месте координатной оси, но его направление должно совпадать с направлением оси.

Сложение направленных отрезков происходит по следующему правилу: Два направленных отрезка складываются путем прибавления начала первого к концу второго, поэтому отрезок, имеющий начало первого отрезка и конец второго, называется суммой двух направленных отрезков.

Координатный отрезок точки A - это направленный отрезок, начинающийся в точке O t. Любой направленный отрезок, лежащий на оси, может быть выражен через координатные отрезки его начала и конца. В самом деле, рассмотрим направленный отрезок AB. Учитывая равенство 2, можно записать, что вместо точки B у нас точка O, а вместо точки C у нас точка B. Отрезок AB является координатным, его начало - точка O , а отрезок AO не является координатным, так как его начало не является началом координат.

В силу равенства 1 мы можем записать: "Направленный отрезок равен разности координаты его конца и координаты его начала". Это верно для любого отрезка, лежащего на координатной оси. Теперь дадим одно из самых важных определений: Координатой точки на координатной оси называется число, равное по абсолютной величине длине координатного отрезка этой точки и равное по знаку знаку координатного отрезка.

Точку A, имеющую координату с номером x, будем обозначать A x. Отсюда сразу получаем, что длина отрезка равна абсолютной величине разности между координатами его конца и начала. Длину отрезка будем обозначать знаком , i. Пример: Начало отрезка AB находится в точке A - , а конец - в точке B - ; найдите его направление и длину. Так как она отрицательна, то ее направление противоположно направлению оси. Чтобы найти точку, нужно найти ее координату. <1> Обозначив координату точки C через x и выразив отрезки через координаты, то есть подставив эти выражения в равенство 6, получим Решая последнее уравнение относительно x, найдем: Это и есть координата искомой точки.

Применяя формулу 7, получим Пример: Найдите точку M, которая делит расстояние между P - 2 и Q - 9 в соотношении Рис. Пример: Найдите середину отрезка, определенного между A -6 и B 4 Рис. Используя формулу 8, получим координаты в плоскости Возьмем две взаимно перпендикулярные прямые в плоскости, которые пересекаются в точке O.

Каждая из этих прямых является перпендикулярной.

Для каждой из этих прямых зададим направление, обозначив его стрелкой на рис. Зададим общий для обеих прямых масштаб и выберем точку O в качестве начала координат. Определение: Координатные оси на плоскости - это две взаимно перпендикулярные прямые, на которых заданы: 1 направление, 2 масштаб и 3 общая точка отсчета. Назовем одну из осей осью Ох или осью абсцисс, другую - осью О или осью ординат. Точка их пересечения называется началом координат. Возьмем произвольную точку М на плоскости и проведем из нее перпендикуляры к координатным осям, т.е.

Определим проекцию на ось O через A, а проекцию на ось O через B. Обозначим координату точки A на оси O через x, а координату точки B на оси O через y. Введем определение: Определение: Абсцисса точки - это координата ее проекции на ось O. Ордината точки - это координата ее проекции на ось O. Абсцисса точки обычно обозначается буквой x, ордината - буквой y.

Точку M, имеющую абсциссу x и ординату y, можно обозначить так: заключить в круглую скобку и поставить абсциссу на первое место, а ординату - на второе, и разделить эти два числа запятой или точкой с запятой.

Таким образом, обозначение точки выглядит следующим образом: M x, y. Координатные оси делят плоскость на четыре части, которые называются четвертями. Первая четверть - это часть плоскости, в которой абсцисса и ордината положительны. Вторая четверть - это часть плоскости, где абсцисса отрицательна, а ордината положительна. Третья четверть - это часть, в которой абсцисса и ордината отрицательны, и, наконец, четвертая четверть - это часть, в которой абсцисса положительна, а ордината отрицательна. <Пример: Найдите точку P - 4, 2 Рис. Поднимите перпендикуляры к осям из точек A и B, и точка их пересечения дает искомую точку P. Задача: Найдите расстояние между точками P x1 и y1 и Q x1 и y1. Другими словами, найдите длину отрезка PQ на рис. Рассмотрим треугольник PKQ. Примечание: Расстояние между двумя точками, как и длина отрезка, всегда положительно, поэтому перед квадратным корнем в формуле 1 ставится только знак плюс. Пример: Найти расстояние между P - 2, - 1 и Q 2, 2. Используя формулу 1, получим задачу: Найти точку C, которая делит отрезок PQ в соотношении t : p, если известны координаты P x1, y1 и Q x2, y2.

Обозначим координаты точки C через x и y, а ее проекции на оси через A и B, t. Используя формулы 2 и 3, получим: Пример: Найдите точку, делящую расстояние между точками A 4, 2 и B 8, 10 в соотношении 3 : 1. Используя формулы 2 и 3, находим: Следствие из формул 2 и 3. Задача: Даны три вершины треугольника: A 7, 0 , B 4, 4 и C 7, Найдите длину биссектрисы угла A рис. Найдите длины сторон AB и AC. Обозначьте точку пересечения биссектрисы угла A с противоположной стороной BC буквой M, а ее координаты - x и y. <1> Теперь вычислите длину биссектрисы между A 7, 0 и M 5, 6 : Задача: Найдите точку пересечения медиан треугольника, вершины которого A 4, 6 , B -8, 10 , C -2, -6 Рис. Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении , считая от вершины треугольника. Обозначим через M середину стороны AC; по формулам 4 и 5 найдем ее координаты: t. Точка P пересечения медиан делит отрезок BM в пропорции , поэтому ее координаты найдем по формулам 2 и 3:

.

Навигация

thoughts on “Декартово произведение множеств на координатной плоскости

  1. Не могу сейчас поучаствовать в обсуждении - очень занят. Но освобожусь - обязательно напишу что я думаю.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *